Gamma 函数与 Beta 函数的定义和性质

阶乘 $n!$ 只对非负整数定义。如果希望把它推广到非整数，就会遇到 Gamma 函数。而在计算形如 $t^{a-1}(1-t)^{b-1}$ 的积分时，另一个特殊函数 Beta 函数会自然出现。

这两个函数看起来分别对应无穷区间和有限区间上的积分，却有一个紧密的联系：

$$\mathrm{B}(a,b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}, \qquad a,b>0.$$

有了这个关系，许多积分就能转化为 Gamma 函数的计算；概率论中 Beta 分布的归一化常数与矩，也能由此得到。下面从积分定义开始推导。全文讨论实数参数，使用积分定义时会注明收敛条件。

Gamma 函数

定义与收敛条件

对于 $x>0$，定义

$$\boxed{\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\,\mathrm{d}t.}$$

这是一个反常积分，需要分别考察两个端点。在 $t\to0^+$ 时，$e^{-t}\to1$，被积函数与 $t^{x-1}$ 等价，而

$$\int_0^1 t^{x-1}\,\mathrm{d}t=\frac1x, \qquad x>0.$$

在 $t\to\infty$ 时，指数因子 $e^{-t}$ 的衰减快于任何固定次幂的增长，因此积分收敛。对于实数参数，这个积分恰好在 $x>0$ 时收敛，并且 $\Gamma(x)>0$。这里采用的是 Euler 积分定义。

递推关系与阶乘

对 $\Gamma(x+1)$ 分部积分，取 $u=t^x$、$\mathrm{d}v=e^{-t}\mathrm{d}t$，得到

$$\begin{aligned} \Gamma(x+1) &=\int_0^\infty t^xe^{-t}\,\mathrm{d}t\\ &=\left[-t^xe^{-t}\right]_0^\infty +x\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\,\mathrm{d}t\\ &=x\Gamma(x). \end{aligned}$$

因为 $x>0$，边界项在 $t\to0^+$ 和 $t\to\infty$ 时都为零。因此

$$\boxed{\Gamma(x+1)=x\Gamma(x),\qquad x>0.}$$

又因为

$$\Gamma(1)=\int_0^\infty e^{-t}\,\mathrm{d}t=1,$$

所以

$$\Gamma(2)=1,\quad \Gamma(3)=2,\quad \Gamma(4)=6,\quad \Gamma(5)=24.$$

不断使用递推关系，对于任意正整数 $n$，都有

$$\boxed{\Gamma(n)=(n-1)!.}$$

等价地，$\Gamma(n+1)=n!$，其中 $n$ 可以是零。需要注意这个参数上的偏移：与 $n!$ 对应的是 $\Gamma(n+1)$。

半整数处的值

计算非整数处的 Gamma 函数，最重要的起点是 $x=1/2$：

$$\Gamma\left(\frac12\right) =\int_0^\infty t^{-1/2}e^{-t}\,\mathrm{d}t.$$

令 $t=u^2$，则 $\mathrm{d}t=2u\,\mathrm{d}u$，从而

$$\begin{aligned} \Gamma\left(\frac12\right) &=2\int_0^\infty e^{-u^2}\,\mathrm{d}u\\ &=\int_{-\infty}^\infty e^{-u^2}\,\mathrm{d}u. \end{aligned}$$

最后一步利用了 $e^{-u^2}$ 是偶函数。这个高斯积分没有初等原函数，但可以通过先平方再换成极坐标来计算。

记

$$I=\int_{-\infty}^\infty e^{-u^2}\,\mathrm{d}u.$$

由于被积函数非负，可以利用 Tonelli 定理把两个积分的乘积写成平面上的二重积分：

$$\begin{aligned} I^2 &=\left(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,\mathrm{d}x\right) \left(\int_{-\infty}^\infty e^{-y^2}\,\mathrm{d}y\right)\\ &=\iint_{\mathbb{R}^2}e^{-(x^2+y^2)}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y. \end{aligned}$$

取极坐标 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$。面积元变为 $\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$，因此

$$\begin{aligned} I^2 &=\int_0^{2\pi}\int_0^\infty e^{-r^2}r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\\ &=2\pi\int_0^\infty re^{-r^2}\,\mathrm{d}r\\ &=-\pi\left[e^{-r^2}\right]_0^\infty\\ &=\pi. \end{aligned}$$

因为 $I>0$，所以

$$\boxed{\Gamma\left(\frac12\right)=\sqrt\pi.}$$

结合递推关系，可以继续得到

$$\Gamma\left(\frac32\right)=\frac{\sqrt\pi}{2},\qquad \Gamma\left(\frac52\right)=\frac{3\sqrt\pi}{4},\qquad \Gamma\left(\frac72\right)=\frac{15\sqrt\pi}{8}.$$

一般地，对于非负整数 $n$，

$$\boxed{ \Gamma\left(n+\frac12\right) =\frac{(2n)!}{4^n n!}\sqrt\pi. }$$

当 $n\geq1$ 时，这是把 $n-\tfrac12,n-\tfrac32,\ldots,\tfrac12$ 相乘，再乘上 $\sqrt\pi$ 的结果；当 $n=0$ 时，公式也成立。

Beta 函数

定义与收敛条件

对于 $a>0$、$b>0$，定义

$$\boxed{ \mathrm{B}(a,b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,\mathrm{d}t. }$$

在 $t\to0^+$ 时，被积函数与 $t^{a-1}$ 等价；在 $t\to1^-$ 时，与 $(1-t)^{b-1}$ 等价。因此，对实数参数，这个积分收敛的条件恰好是 $a,b>0$。

即使 $0<a<1$ 或 $0<b<1$，被积函数在对应端点趋于无穷，积分仍然可能收敛。例如 $a=b=1/2$ 时，两端都存在这样的可积奇点。

对称性

令 $u=1-t$，有

$$\begin{aligned} \mathrm{B}(a,b) &=\int_0^1(1-u)^{a-1}u^{b-1}\,\mathrm{d}u\\ &=\mathrm{B}(b,a). \end{aligned}$$

因此，交换两个参数不会改变 Beta 函数的值：

$$\boxed{\mathrm{B}(a,b)=\mathrm{B}(b,a).}$$

Beta 函数与 Gamma 函数的关系

从两个 Gamma 函数的乘积出发：

$$\Gamma(a)\Gamma(b) =\int_0^\infty\int_0^\infty u^{a-1}v^{b-1}e^{-(u+v)}\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v.$$

同样，因为被积函数非负，可以把乘积写成二重积分。接下来把 $u,v$ 换成它们的总量与比例：

$$s=u+v,\qquad t=\frac{u}{u+v}.$$

反过来，

$$u=st,\qquad v=s(1-t).$$

第一象限 $u,v>0$ 对应 $s>0$、$0<t<1$，变量替换的 Jacobian 绝对值为

$$\left|\frac{\partial(u,v)}{\partial(s,t)}\right| =\left|\begin{vmatrix}t&s\\1-t&-s\end{vmatrix}\right| =s.$$

因此，面积元为 $\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v=s\,\mathrm{d}s\,\mathrm{d}t$。代入原积分：

$$\begin{aligned} \Gamma(a)\Gamma(b) &=\int_0^\infty\int_0^1 (st)^{a-1}[s(1-t)]^{b-1}e^{-s}s\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}s\\ &=\left(\int_0^\infty s^{a+b-1}e^{-s}\,\mathrm{d}s\right) \left(\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,\mathrm{d}t\right)\\ &=\Gamma(a+b)\mathrm{B}(a,b). \end{aligned}$$

由于 $\Gamma(a+b)>0$，得到

$$\boxed{ \mathrm{B}(a,b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}, \qquad a,b>0. }$$

这个变量替换的关键，是把原先混在一起的 $u,v$ 分成总量 $s$ 和比例 $t$，使积分分离成两个独立因子。结果与 Euler 的 Beta 积分公式一致。

Beta 函数的常用性质

下面各式都假设 $a,b>0$。

递推关系

利用 Beta–Gamma 关系和 Gamma 函数的递推公式，

$$\begin{aligned} \mathrm{B}(a+1,b) &=\frac{\Gamma(a+1)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b+1)}\\ &=\frac{a}{a+b}\mathrm{B}(a,b). \end{aligned}$$

由对称性，同样有

$$\boxed{ \begin{aligned} \mathrm{B}(a+1,b)&=\frac{a}{a+b}\mathrm{B}(a,b),\\ \mathrm{B}(a,b+1)&=\frac{b}{a+b}\mathrm{B}(a,b). \end{aligned} }$$

将两式相加，得到

$$\boxed{\mathrm{B}(a+1,b)+\mathrm{B}(a,b+1)=\mathrm{B}(a,b).}$$

这个加法关系也能直接从定义看出：左侧的被积函数相加，恰好提出因子 $t+(1-t)=1$。

特殊值

当一个参数等于一时，

$$\mathrm{B}(a,1)=\int_0^1t^{a-1}\,\mathrm{d}t=\frac1a, \qquad \mathrm{B}(1,b)=\frac1b.$$

对于正整数 $m,n$，

$$\boxed{ \mathrm{B}(m,n)=\frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}. }$$

例如，

$$\int_0^1t^2(1-t)^3\,\mathrm{d}t =\mathrm{B}(3,4) =\frac{2!\,3!}{6!} =\frac1{60}.$$

对于半整数参数，利用 $\Gamma(1/2)=\sqrt\pi$，有

$$\mathrm{B}\left(\frac12,\frac12\right)=\pi, \qquad \mathrm{B}\left(\frac12,\frac32\right)=\frac\pi2, \qquad \mathrm{B}\left(\frac32,\frac32\right)=\frac\pi8.$$

特别地，第一个等式给出一个两端均有奇点、但仍然收敛的积分：

$$\int_0^1\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t(1-t)}}=\pi.$$

正性与单调性

定义中的被积函数在 $(0,1)$ 上为正，所以 $\mathrm{B}(a,b)>0$。

固定 $b>0$，若 $a_2>a_1>0$，由于 $0<t<1$，有 $t^{a_2-1}<t^{a_1-1}$。将两边乘上正数 $(1-t)^{b-1}$ 并积分，得到

$$\mathrm{B}(a_2,b)<\mathrm{B}(a_1,b).$$

因此，固定一个正参数时，Beta 函数随另一个参数的增大而严格减小。对第二个参数的结论可由对称性得到。

Beta 函数的其他积分形式

三角函数积分

在定义中令 $t=\sin^2\theta$，则 $\mathrm{d}t=2\sin\theta\cos\theta\,\mathrm{d}\theta$，得到

$$\mathrm{B}(a,b) =2\int_0^{\pi/2} \sin^{2a-1}\theta\cos^{2b-1}\theta\,\mathrm{d}\theta.$$

因此，对于 $m,n>-1$，

$$\boxed{ \int_0^{\pi/2}\sin^m\theta\cos^n\theta\,\mathrm{d}\theta =\frac12\mathrm{B}\left(\frac{m+1}{2},\frac{n+1}{2}\right). }$$

这里 $m,n>-1$ 分别保证两个端点处可积。这是 Beta 积分的三角形式。例如，

$$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\sin^4\theta\cos^2\theta\,\mathrm{d}\theta &=\frac12\mathrm{B}\left(\frac52,\frac32\right)\\ &=\frac{\Gamma(5/2)\Gamma(3/2)}{2\Gamma(4)}\\ &=\frac\pi{32}. \end{aligned}$$

无穷区间上的积分

在定义中令

$$t=\frac{u}{1+u},\qquad 1-t=\frac1{1+u},\qquad \mathrm{d}t=\frac{\mathrm{d}u}{(1+u)^2},$$

便得到 Beta 积分的无穷区间形式：

$$\boxed{ \mathrm{B}(a,b) =\int_0^\infty\frac{u^{a-1}}{(1+u)^{a+b}}\,\mathrm{d}u, \qquad a,b>0. }$$

实际使用时，如果遇到

$$\int_0^\infty\frac{u^{p-1}}{(1+u)^q}\,\mathrm{d}u,$$

可取 $a=p$、$b=q-p$。收敛条件为 $q>p>0$，积分结果是

$$\frac{\Gamma(p)\Gamma(q-p)}{\Gamma(q)}.$$

例如，

$$\int_0^\infty\frac{\sqrt u}{(1+u)^3}\,\mathrm{d}u =\mathrm{B}\left(\frac32,\frac32\right) =\frac\pi8.$$

用 Beta 函数推导 Gamma 函数的倍增公式

Beta 函数不仅能借助 Gamma 函数计算，也可以反过来帮助推导 Gamma 函数的恒等式。

取 $x>0$。在 $\mathrm{B}(x,x)$ 的积分中，令 $t=(1+u)/2$，得到

$$\begin{aligned} \mathrm{B}(x,x) &=2^{1-2x}\int_{-1}^1(1-u^2)^{x-1}\,\mathrm{d}u\\ &=2^{2-2x}\int_0^1(1-u^2)^{x-1}\,\mathrm{d}u. \end{aligned}$$

第二步使用了偶函数的对称性。再令 $v=u^2$，得到

$$\mathrm{B}(x,x) =2^{1-2x}\int_0^1v^{-1/2}(1-v)^{x-1}\,\mathrm{d}v =2^{1-2x}\mathrm{B}\left(\frac12,x\right).$$

把两侧都写成 Gamma 函数：

$$\frac{\Gamma(x)^2}{\Gamma(2x)} =2^{1-2x}\frac{\sqrt\pi\,\Gamma(x)}{\Gamma(x+1/2)}.$$

约去正数 $\Gamma(x)$ 并整理，就得到 Legendre 倍增公式：

$$\boxed{ \Gamma(x)\Gamma\left(x+\frac12\right) =2^{1-2x}\sqrt\pi\,\Gamma(2x),\qquad x>0. }$$

例如，取 $x=n+1/2$，其中 $n$ 为非负整数，便能再次得到前面的半整数 Gamma 函数公式。

在 Beta 分布中的应用

Beta 函数在概率论中最直接的作用，是把一个正函数归一化为概率密度。如果随机变量 $X$ 服从参数为 $a,b>0$ 的 Beta 分布，记作 $X\sim\operatorname{Beta}(a,b)$，则密度为

$$f_X(t)=\frac{t^{a-1}(1-t)^{b-1}}{\mathrm{B}(a,b)}, \qquad 0<t<1,$$

区间外的密度为零。分母正好是分子的积分，因此总概率等于一。

计算矩时，可以复用 Beta 函数。对于任意非负整数 $k$，

$$\begin{aligned} \mathbb{E}[X^k] &=\frac1{\mathrm{B}(a,b)}\int_0^1t^{a+k-1}(1-t)^{b-1}\,\mathrm{d}t\\ &=\frac{\mathrm{B}(a+k,b)}{\mathrm{B}(a,b)}. \end{aligned}$$

取 $k=1$、$k=2$，利用递推关系，得到

$$\mathbb{E}[X]=\frac{a}{a+b}, \qquad \mathbb{E}[X^2]=\frac{a(a+1)}{(a+b)(a+b+1)}.$$

因此方差为

$$\begin{aligned} \operatorname{Var}(X) &=\mathbb{E}[X^2]-\bigl(\mathbb{E}[X]\bigr)^2\\ &=\frac{a(a+1)}{(a+b)(a+b+1)}-\frac{a^2}{(a+b)^2}\\ &=\frac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)}. \end{aligned}$$

例如，$a=b=1$ 时，$\mathrm{B}(1,1)=1$，密度在 $(0,1)$ 上恒为一，此时的 Beta 分布就是该区间上的均匀分布；它的期望为 $1/2$，方差为 $1/12$。

这里的计算说明了 Beta 函数的一个实用之处：给密度乘上 $t^k$，只会把一个参数增加 $k$，于是矩的积分就变成了两个 Beta 函数的比值。